幂函数的概念和特征

职业教育网 2025-11-02 00:17:28

幂函数的概念和特征

一、幂函数的概念和特征

1、幂函数的概念

一般地，函数$y=x^a$叫做幂函数，其中$x$为自变量，$a$为常数。

2、幂函数的特征

（1）解析式右边是一个幂；

（2）系数为1；

（3）底数是自变量；

（4）指数是常数。

3、幂函数的性质

（1）$y=x$

定义域为$\mathbf{R}$；值域为$\mathbf{R}$；奇函数；在$\mathbf{R}$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

（2）$y=x^2$

定义域为$\mathbf{R}$；值域为$y\geqslant0$；偶函数；在$(-∞,0)$上单调递减，在$（0,+∞）$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

（3）$y=x^3$

定义域为$\mathbf{R}$；值域为$\mathbf{R}$；奇函数；在$\mathbf{R}$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

（4）$y=x^\frac{1}{2}$

定义域为$x\geqslant0$；值域为$y\geqslant0$；非奇非偶函数；在$（0,+∞）$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

（5）$y=x^{-1}$

定义域为$x≠0$；值域为$y≠0$；奇函数；在$（-∞,0）$和$(0,+∞)$上单调递减；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

二、幂函数的相关例题

已知幂函数$f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}(t∈\mathbf{N})$是偶函数，则实数$t$=____

A．0 B．-1或1

C．1 D．0或1

答案：C

解析：$∵f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}$是幂函数，∴$t^2-t+1=1$，即$t^2-t=0$，解得$t=0$或$t=1$。当$t=0$时，$f(x)=x^\frac{7}{5}$是奇函数，不满足题意；当$t=1$时，$f(x)=x^\frac{8}{5}$是偶函数，满足题意，故选C。

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